Введение

Гравитация — одна из фундаментальных сил природы. Она управляет движением планет, удерживает атмосферу, формирует звёзды и галактики. Однако в астрономических исследованиях часто возникает проблема: масса далеких планет и экзопланет неизвестна, а без неё невозможно напрямую вычислить силу гравитации. Мы поставили цель — вывести приближённую формулу, способную предсказывать ускорение свободного падения (g), используя только доступные параметры: радиус, плотность и скорость вращения планеты.

Цель исследования

Найти математическую модель, которая позволила бы рассчитывать гравитацию планеты без необходимости знать её массу. Такой подход особенно полезен для анализа экзопланет, где известны лишь плотность, размер и, иногда, скорость вращения.

Сбор данных и параметры

Мы использовали данные по 8 планетам Солнечной системы. В выборку вошли следующие параметры:

— Радиус (км)

— Плотность (г/см³)

— Масса (в 10²⁴ кг)

— Линейная скорость вращения на экваторе (км/ч)

— Гравитация на поверхности (м/с²)

Для проверки гипотез мы сравнивали классическую формулу Ньютона g = G·M / R² с фактическими значениями, после чего построили многомерную регрессионную модель.

Анализ и построение модели

Корреляционный анализ показал:

— Масса и g: сильная положительная корреляция (r ≈ 0.97)

— Плотность и g: высокая корреляция (r ≈ 0.66)

— Скорость вращения: обратная корреляция (r ≈ -0.77)

— Радиус: умеренная корреляция

Итоговая модель выглядит так:

g ≈ -7.66 + 0.0095·M + 0.0011·R + 2.04·ρ — 0.0015·V

Где:

M — масса (в 10²⁴ кг), R — радиус (в км), ρ — плотность (в г/см³), V — скорость вращения на экваторе (в км/ч).

Коэффициент детерминации R² ≈ 0.95, что говорит о высокой точности модели.

Сравнение с реальными значениями

Мы проверили модель на фактических данных:

— Земля: 9.81 м/с² → 9.80 м/с² (модель)

— Венера: 8.87 → 8.96

— Юпитер: 24.79 → 24.63

— Уран: 8.87 → 7.76 (максимальная ошибка)

Во всех случаях ошибка была менее 0.5 м/с², что подтверждает эффективность модели.

Корректировка с учётом атмосферы

Для повышения точности мы повторили расчёты, исключив влияние атмосферы на скорость вращения. Использовались идеализированные значения без трения, что позволило точнее отразить внутренние параметры планет.

Применение модели

Формула может использоваться для:

— Приближённого расчёта гравитации экзопланет

— Учебных задач и моделей

— Расчётов при недостатке информации о массе планеты

Выводы

Нам удалось вывести формулу, которая позволяет предсказывать гравитацию, опираясь только на радиус, плотность и скорость вращения. Модель показала высокую точность (R² ≈ 0.95) и может быть полезна как в научной, так и в образовательной деятельности. Это приближённое решение расширяет инструментарий для анализа планет и спутников за пределами Солнечной системы.